Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過點(diǎn)的動直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且,試探究：直線是否過定點(diǎn)，若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請說明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn).

【解析】

（1）由題意知直線的方程為， 由直線與圓相切，得進(jìn)而求解方程。

（2）證法一：由知，設(shè)直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立，整理得，求解點(diǎn)，點(diǎn)，進(jìn)而表示出直線方程求解。

（1）圓的圓心為，半徑

由題意知，，

直線的方程為，即，

由直線與圓相切，得，

解得，，

故橢圓的方程為.

（2）證法一：由知，從而直線與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線的方程為，直線的方程為.

聯(lián)立，整理得，

解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴直線的斜率為，

∴直線的方程為，

即.

所以直線過定點(diǎn).

證法二：由，知，從而直線與軸不垂直，故可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，整理得.

設(shè)，，則，，（*）

由得.

由，

得，

將（*）代入，得，

所以直線過定點(diǎn).