已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍.
(2)若f′(-1)=0,求函數(shù)y=f(x)在[-
32
,1]
上的最大值和最小值.
分析:(1)根據(jù)題意,求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于另,則此方程有解,利用△≥0即可求得a的取值范圍;
(2)把f′(-1)=0,代入f′(x)中,求出a的值,求區(qū)間[-
3
2
,1]
上的單調(diào)性和極值,并和端點(diǎn)函數(shù)值比較大小,從而確定函數(shù)y=f(x)在[-
3
2
,1]
上的最大值和最小值.
解答:解:(1)f′(x)=2x(x+a)+(x2+1)=3x2+2ax+1,
∵函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,
∴則f′(x)=0有解,
△=(2a)2-4×3≥0,解得a≥
3
或a≤-
3
,
∴a的取值范圍是a≥
3
或a≤-
3
;
(2)∵f′(-1)=0,
∴3-2a+1=0,解得a=2,
∴f′(x)=3x2+4x+1=0,
解得x=-1或x=-
1
3
,
當(dāng)-
3
2
<x<-1時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(-
3
2
,-1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)-1<x<-
1
3
時(shí),f′(x)0,∴f(x)在(-1,-
1
3
)上單調(diào)遞減,
當(dāng)-
1
3
<x<1時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(-
1
3
,1)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取極大值2,當(dāng)x=-
1
3
時(shí),f(x)取極小值
50
27
,
而f(-
3
2
)=
13
8
,f(1)=6,
∴函數(shù)y=f(x)在[-
3
2
,1]
上的最大值和最小值分別為6,
13
8
點(diǎn)評:此題是個(gè)基礎(chǔ)題.考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ex(x2-ax+a).
(Ⅰ)求f′(0)的值;
(Ⅱ)若a>2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a

(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
(2)若f'(-1)=0,對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,求m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=
1
1-ax
,g(x)=(1+ax)ex,記F(x)=f(x)•g(x).
(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為x+y-1=0,求a的值;
(2)若a=1,求函數(shù)g(x)的最小值;
(3)當(dāng)a=-
1
2
時(shí),解不等式F(x)<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a).
(1)若f'(-1)=0,求函數(shù)y=f(x)在[-
32
,1]上的最大值和最小值;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•湖北模擬)已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)

(I)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
(II)當(dāng)a=
9
4
時(shí),對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,試求m的取值范圍.

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