Question

【題目】已知拋物線（），點(diǎn)在的焦點(diǎn)的右側(cè)，且到的準(zhǔn)線的距離是到距離的3倍，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線的方程和的坐標(biāo)；

（2）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）橢圓的兩焦點(diǎn)為、，在橢圓外的拋物線上取一點(diǎn)，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2），詳見解析（3）

【解析】

（1）由題意得出，以及，可求出的值，從而得出拋物線的方程以及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)、，直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，并求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在時，由與同時與軸垂直得出，在時，由得出，即可解答該問題；

（3）設(shè)點(diǎn)，得出，由點(diǎn)在拋物線上且在橢圓外得出，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得出的取值范圍.

（1）由于點(diǎn)在拋物線的焦點(diǎn)的右側(cè)，所以，，

由于到的準(zhǔn)線的距離是到距離的倍，即，解得，

因此，拋物線的方程為，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2），理由如下：

設(shè)， ，聯(lián)立，

得，，

；，令得，

，令得，

當(dāng)時，直線斜率不存在，

此時，，直線斜率也不存在；

當(dāng)時，，則；

（3）設(shè)點(diǎn)，則，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以，

即，即，，解得，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

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