Question

在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃比賽中，兩人一對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進(jìn)行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是

1

3

，

1

2

．兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃．假設(shè)每人每次投籃命中與否均互不影響．
（Ⅰ）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投籃命中一次得1分，否則得0分．用ξ表示甲的總得分，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃．每人每次投籃命中與否均互不影響，本題是相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，由公式可得到結(jié)果．
（2）用ξ表示甲的總得分，因?yàn)楣餐痘@三次，所以變量的取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，做出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃．
每人每次投籃命中與否均互不影響，本題是相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，
記“3次投籃的人依次是甲、甲、乙”為事件A．
由題意，得P(A)=

1

3

×

2

3

=

2

9

．
即3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率是

2

9

．
（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為0，1，2，3，
∴P(ξ=0)=

2

3

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

2

3

=

5

9

，
P(ξ=1)=

2

3

×

1

2

×

1

3

+

1

3

×

2

3

=

1

3

，
P(ξ=2)=

1

3

×

1

3

×

2

3

=

2

27

，
P(ξ=3)=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

．
∴ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

5

9

+1×

1

3

+2×

2

27

+3×

1

27

=

16

27

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望即相互獨(dú)立事件的概率，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式．