已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x3－2ax＋a.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)證明：當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＋|2－a|＞0.
(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)見解析
(1)由題意得f′(x)＝12x2－2a.
當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0恒成立，此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．
當(dāng)a＞0時，f′(x)＝12，
此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)證明：由于0≤x≤1，故當(dāng)a≤2時，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
當(dāng)a＞2時，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.
設(shè)g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，則
g′(x)＝6x2－2＝6.
于是
x
0



1
g′(x)
 
－
0
＋
 
g(x)
1
減
極小值
增
1
所以g(x)min＝g＝1－＞0.
所以當(dāng)0≤x≤1時，2x3－2x＋1＞0.
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知函數(shù)f(x)=x2，g(x)＝2elnx(x>0)(e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1)求F(x)=f(x)－g(x)(x>0)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2)是否存在一次函數(shù)y=kx+b(k，bR)，使得f(x)≥kx十b且g(x)≤kx＋b對一切x>0恒成立？若存在，求出該一次函數(shù)的表達式；若不存在，請說明理由．

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已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．

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A．B．C．D．

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)；f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時，0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠時，f′(x)＞0.則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零點個數(shù)為________．

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