Question

【題目】已知橢圓：的兩個焦點為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點,為弦的中點.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）若直線:與橢圓相交于不同的兩點,,,若（為坐標原點）,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）因為為弦的中點,設(shè),,將其代入利用點差法,即可求得答案.

（2）因為,,三點共線,, 根據(jù)三點共線性質(zhì)可得:,則,將直線和橢圓聯(lián)立方程消掉,結(jié)合已知,利用韋達定理即可求得答案.

（1） 焦距為,則,

設(shè),,

為弦的中點,根據(jù)中點坐標公式可得:,,

又 將其,代入橢圓:

將兩式作差可得:,

,

——①.

——②

由①②得:

橢圓的標準方程為.

（2） ,,三點共線,

根據(jù)三點共線性質(zhì)可得: ,則

設(shè),,則,

.

將直線和橢圓聯(lián)立方程消掉.

可得:.

——①,

根據(jù)韋達定理:,,

代入,可得:,,

,即.

,,

——②,

代入①式得,即,

,

滿足②式,

或.