【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2, .M,N分別為BC和CC1的中點(diǎn),P為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)若P為線段BB1的中點(diǎn),求證:A1N∥平面APM;
(3)試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)證明:由已知,M為BC中點(diǎn),且AB=AC,所以AM⊥BC.

又因?yàn)锽B1∥AA1,且AA1⊥底面ABC,所以BB1⊥底面ABC.

因?yàn)锳M底面ABC,所以BB1⊥AM,

又BB1∩BC=B,

所以AM⊥平面BB1C1C.

又因?yàn)锳M平面APM,

所以平面APM⊥平面BB1C1C.


(2)解:取C1B1中點(diǎn)D,連結(jié)A1D,DN,DM,B1C.

由于D,M分別為C1B1,CB的中點(diǎn),所以DM∥A1A,且DM=A1A.

則四邊形A1AMD為平行四邊形,所以A1D∥AM.

又A1D平面APM,AM平面APM,所以A1D∥平面APM.

由于D,N分別為C1B1,C1C的中點(diǎn),所以DN∥B1C.

又P,M分別為B1B,CB的中點(diǎn),所以MP∥B1C.

則DN∥MP.又DN平面APM,MP平面APM,所以DN∥平面APM.

由于A1D∩DN=D,所以平面A1DN∥平面APM.

由于A1N平面A1DN,所以A1N∥平面APM.


(3)解:假設(shè)BC1與平面APM垂直,

由PM平面APM,則BC1⊥PM.

設(shè)PB=x, .當(dāng)BC1⊥PM時(shí),∠BPM=∠B1C1B,

所以 ∽R(shí)t△∠B1C1B,所以

由已知

所以 ,得

由于 ,

因此直線BC1與平面APM不能垂直.


【解析】(1)由已知推導(dǎo)出AM⊥BC,BB1⊥底面ABC,BB1⊥AM,從而AM⊥平面BB1C1C,由此能證明平面APM⊥平面BB1C1C.(2)取C1B1中點(diǎn)D,連結(jié)A1D,DN,DM,B1C,則四邊形A1AMD為平行四邊形,從而A1D∥AM,進(jìn)而A1D∥平面APM;進(jìn)一步推導(dǎo)出DN∥B1C,MP∥B1C,則DN∥MP,從而DN∥平面APM,進(jìn)而平面A1DN∥平面APM,由此能證明A1N∥平面APM.(3)假設(shè)BC1與平面APM垂直,則BC1⊥PM.設(shè)PB=x, .推導(dǎo)出 ,從而得到直線BC1與平面APM不能垂直.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),離心率.

(1)求橢圓的方程;

(2)點(diǎn)在橢圓上,若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,連接并延長(zhǎng)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,連接,求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù), ).

(Ⅰ)若直線和函數(shù)的圖象相切,求的值;

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若存在正實(shí)數(shù),使對(duì)任意,都有恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】正四棱錐P﹣ABCD,B1為PB的中點(diǎn),D1為PD的中點(diǎn),則兩個(gè)棱錐A﹣B1CD1 , P﹣ABCD的體積之比是(

A.1:4
B.3:8
C.1:2
D.2:3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若,證明;

(2)若,求的取值范圍;并證明此時(shí)的極值存在且與無(wú)關(guān).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an1(n≥2,n∈N+).
(1)設(shè)bn=an+1+an(n∈N+),求證{bn}是等比數(shù)列;
(2)(i)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(ii)求證:對(duì)于任意n∈N+都有 + +…+ + 成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并寫出f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知△ABC的內(nèi)角分別是A,B,C,A為銳角,且f( )= ,求cosA的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,OACBD的交點(diǎn),AB平面PAD,PAD是正三角形,DC//AB,DADC2AB.

1)若點(diǎn)E為棱PA上一點(diǎn),且OE平面PBC,求的值;

2)求證:平面PBC平面PDC

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知cosα= ,cos(α﹣β)= ,且0<β<α<
(1)求tan2α的值;
(2)求β.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案