Question

已知函數f（x）=lnx-ax²．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a=

1

8

時，證明：存在x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=f（

3

2

）；
（Ⅲ）若存在屬于區(qū)間[1，3]的α、β，且β-α=1，使f（α）=f（β），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）=lnx-ax²的定義域是（0，+∞），再求導f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，討論導數的正負以確定單調性；
（Ⅱ）證明：當a=

1

8

時，f（x）在（0，2）單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；從而可得f（

3

2

）＜f（2），又由f（x）在[2，+∞）上的值域為（-∞，f（2）]，從而得證；
（Ⅲ）討論

2a

2a

在[1，3]間的位置，從而轉化存在屬于區(qū)間[1，3]的α、β，且β-α=1，使f（α）=f（β），從而求解．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=lnx-ax²的定義域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，由f′（x）＞0解得，x＜

2a

2a

；
故f（x）在（0，

2a

2a

）單調遞增，在（

2a

2a

，+∞）上單調遞減；

（Ⅱ）證明：當a=

1

8

時，
f（x）在（0，2）單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減；
則f（

3

2

）＜f（2），
又∵f（x）在[2，+∞）上的值域為（-∞，f（2）]；
∴存在x₀∈[2，+∞），使f（x₀）=f（

3

2

）；

（Ⅲ）①當1＜

2a

2a

≤2，即

1

8

≤a＜

1

2

時，
f（2）≥f（1），
即a≤

ln2

3

，
故

1

8

≤a≤

ln2

3

；
②當2＜

2a

2a

＜3，即

1

18

≤a＜

1

8

時，
f（2）≥f（3），
即a≥

ln 3 2

5

，
故

ln 3 2

5

≤a＜

1

8

；
綜上所述，實數a的取值范圍是[

ln 3 2

5

，

ln2

3

]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于難題．