試題分析:本題主要考查導數(shù)的計算以及運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,考查學生的函數(shù)思想、分類討論思想,考查綜合分析和解決問題的能力和計算能力.第一問,注意到函數(shù)的定義域中
,所以先將原恒成立的不等式進行轉(zhuǎn)化,設(shè)出新函數(shù)
,只需證出
即可,所以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)
的最小值問題,對
求導,討論
的正負,判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值;第二問,結(jié)合第一問的結(jié)論,判斷出當
或
或
時不合題意,當
時,先求出
的解
,假設(shè)存在
成立,得到
的值,代入到
中,判斷
有沒有可能為0,設(shè)出新函數(shù)
,只需判斷
的最小值的正負,對
求導,并進行二次求導,判斷函數(shù)
的單調(diào)性,判斷出
,所以不合題意,所以不存在滿足條件的實數(shù)
.
試題解析:⑴解:注意到函數(shù)
的定義域為
,
所以
恒成立
恒成立,
設(shè)
,
則
, 2分
當
時,
對
恒成立,所以
是
上的增函數(shù),
注意到
,所以
時,
不合題意. 4分
當
時,若
,
;若
,
.
所以
是
上的減函數(shù),是
上的增函數(shù),
故只需
. 6分
令
,
,
當
時,
; 當
時,
.
所以
是
上的增函數(shù),是
上的減函數(shù).
故
當且僅當
時等號成立.
所以當且僅當
時,
成立,即
為所求. 8分
⑵解:由⑴知當
或
時,
,即
僅有唯一解
,不合題意;
當
時,
是
上的增函數(shù),對
,有
,
所以
沒有大于
的根,不合題意. 8分
當
時,由
解得
,若存在
,
則
,即
,
令
,
,
令
,當
時,總有
,
所以
是
上的增函數(shù),即
,
故
,
在
上是增函數(shù),
所以
,即
在
無解.
綜上可知,不存在滿足條件的實數(shù)
. 12分