【題目】
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有
a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析.
(Ⅱ)見解析.
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)選擇反證法來證明,假設(shè)存在推出矛盾.
(Ⅱ)用數(shù)列構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列,我們寫出新數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)的取值影響數(shù)列的性質(zhì),所以要對(duì)進(jìn)行討論.
(Ⅲ)根據(jù)前面的運(yùn)算寫出數(shù)列的前項(xiàng)和,把不等式寫出來觀察不等式的特點(diǎn),構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)函數(shù)的最值進(jìn)行驗(yàn)證,注意的奇偶情況要分類討論.
解:(Ⅰ)證明:假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使是等比數(shù)列,則有,即,矛盾.
所以不是等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:因?yàn)?/span>
又,所以
當(dāng),,此時(shí)不是等比數(shù)列:
當(dāng)時(shí),,由上可知,
.
故當(dāng)時(shí),數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng),,,不滿足題目要求.
,故知,于是可得
,
要使對(duì)任意正整數(shù)成立,
即
得
①
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),,
的最大值為(1),的最小值為(2),.
于是,由①式得.
當(dāng)時(shí),由,不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求;
當(dāng)存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù),都有,且的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,我們經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì),也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征,如某體育品牌的LOGO為,可抽象為如圖所示的軸對(duì)稱的優(yōu)美曲線,下列函數(shù)中,其圖象大致可“完美”局部表達(dá)這條曲線的函數(shù)是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
(注意:在試題卷上作答無效)
已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:
方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;
方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).
求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和,則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.
現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為,乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為
(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式;當(dāng)時(shí),求證:=;
(2)設(shè),當(dāng)、分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少?(3)記(2)中最大的綜合滿意度為,試問能否適當(dāng)選取、的值,使得和同時(shí)成立,但等號(hào)不同時(shí)成立?試說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】仔細(xì)觀察數(shù)列給出部分的數(shù)字,尋找規(guī)律,在空白處填上合適的數(shù)字.
(1)2,3,5,8,__________21;(2)8,_______14,17,20,23;
(3)2,4,8,16,_______,64;(4),,,,,_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐中,底面為菱形,平面, 為上一點(diǎn),為菱形對(duì)角線的交點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)若,四棱錐的體積是四棱錐的體積的,求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①,且,②,且,③,且這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的存在,求出和數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和;若不存在,請(qǐng)說明理由.
設(shè)為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足________,是否存在,使得數(shù)列成為等差數(shù)列?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx,記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).
(1)若h(x)=axf'(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x∈(0,2π),試判斷函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為實(shí)現(xiàn)國民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo),國家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015 年以前的年均脫貧率(脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比)為.2015年開始,全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目,各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比(參加該項(xiàng)目戶數(shù)占 2019 年貧困戶總數(shù)的比)及該項(xiàng)目的脫貧率見下表:
實(shí)施項(xiàng)目 | 種植業(yè) | 養(yǎng)殖業(yè) | 工廠就業(yè) | 服務(wù)業(yè) |
參加用戶比 | ||||
脫貧率 |
那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的( )
A.B.C.D.
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