Question

如下圖，把邊長為1的正方形沿對角線折起得到三棱錐，是邊上一點(diǎn)．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，證明：平面；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)在∆DBC中，邊BC上的高為h，則

         又依題意可求得

∴  

（Ⅱ）若DO取最小值，則DO⊥BC 

       ∵

∴O為BC中點(diǎn)，故AO⊥BC 

又，∴平面          

（Ⅲ）解法1：作AE⊥DC，垂足為E，設(shè)O為BC中點(diǎn)，連結(jié)OE

∵，∴△DAC是等邊三角形

∴E為DC中點(diǎn)，∴OE∥DB

    ∴OE⊥DC，∴∠AEO為所求二面角的平面角   

   ∵

    ∴，∴AO⊥OE

    ∴                 

解法2：∵，，兩兩垂直

以O(shè)為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，

，        

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則  即   

 令  得到   又因?yàn)?sub>平面BCD，所以平面BCD的一個(gè)法向量為，                             

設(shè)二面角的平面角為，則