Question

已知拋物線C：y=ax²，點P（1，-1）在拋物線C上，過點P作斜率為k₁、k₂的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且滿足k₁+k₂=0．
（I）求拋物線C的焦點坐標；
（II）若點M滿足

BM

=

MA

，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）將P代入拋物線C的方程即可求得a，進而拋物線的方程可得．
（II）設(shè)直線PA的方程為y+1=k₁（x-1），與拋物線方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x₁的一元二次方程根據(jù)韋達定理求得x₁與k₁的關(guān)系，同樣設(shè)直線PB的方程為y+1=k₂（x-1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而可得x₂與k₂的關(guān)系，設(shè)點M的坐標為（x，y）根據(jù)向量

BM

=

MA

的關(guān)系求得x=-1，得出M的軌跡．

解答：解：（I）將P（1，-1）代入拋物線C的方程y=ax²得a=-1，
∴拋物線C的方程為y=-x²，即x²=-y．
焦點坐標為F（0，-

1

4

）．
（II）設(shè)直線PA的方程為y+1=k₁（x-1），
聯(lián)立方程

y+1=k1(x-1) y=-x2.

消去y得x²+k₁x-k₁-1=0，
則1•x₁=-k₁-1，即x₁=-k₁-1．
由△=k₁²-4（-k₁-1）=（k₁+2）²＞0，得k₁≠-2．
同理直線PB的方程為y+1=k₂（x-1），
聯(lián)立方程

y+1=k2(x-1) y=-x2.

消去y得x²+k₂x-k₂-1=0，
則1•x₂=-k₂-1，即x₂=-k₂-1．且k₂≠-2．
又∵k₁+k₂=0，∴k₁≠2．
設(shè)點M的坐標為（x，y），由

BM

=

MA

，則x=

x1+x2

2

.x=

-k1-1-k2-1

2

=

-2-(k1+k2)

2

.
又∵k₁+k₂=0，∴x=-1．
y=

y1+y2

2

=

- x 2 1 - x 2 2

2

=

-(k1-1)2-(-k2-1)2

2

=

-(-k1-1)2-(k1-1)2

2

=-（k₁²+1）≤-1，
又k₁≠±2，∴y≠-5．
∴所求M的軌跡方程為：x=-1（y≤-1且y≠-5）．

點評：本題主要考查拋物線與直線之間的關(guān)系，考查學(xué)生綜合分析和運用所學(xué)知識的能力．