Question

（2012•道里區(qū)二模）已知△ABC，∠C=60°，AC=2，BC=1，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)部或邊界上一動(dòng)點(diǎn)，N是邊BC的中點(diǎn)，則

AN

•

AM

的最大值為

7

2

．

Answer 1

分析：由題意，得△ABC是以B為直角的直角三角形，因此建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），可得向量

AM

和

AN

的坐標(biāo)，從而得到

AN

•

AM

關(guān)于x、y的表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)點(diǎn)M與原點(diǎn)重合時(shí)

AN

•

AM

的最大值為

7

2

．

解答：解：∵∠C=60°，AC=2，BC=1，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=3，得AB=

3

可得△ABC是以B為直角的直角三角形
因此，以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系，
可得C（0，0），B（1，0），A（1，

3

）
∴BC中點(diǎn)N（

1

2

，0），得

AN

=（-

1

2

，-

3

）
設(shè)M（x，y），得

AM

=（x-1，y-

3

）
∴

AN

•

AM

=-

1

2

（x-1）+（-

3

）（y-

3

）=-

1

2

x-

3

y+

7

2

點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M與原點(diǎn)重合時(shí)，-

1

2

x-

3

y+

7

2

=

7

2

，取得最大值
即

AN

•

AM

的最大值為

7

2

故答案為：

7

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求向量數(shù)量的最大值，著重考查了解三角形和平面向量的數(shù)量積公式等知識(shí)，屬于中檔題．