Question

（14分）已知在（其中n<15）的展開(kāi)式中：
（1）求二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；
（2）若展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫(xiě)出它展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

Answer 1

（1）; （2）n=14; （3）,,.

試題分析：（1）二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和就是，由可得結(jié)果；（2）由二項(xiàng)式系數(shù)，，成等差數(shù)列，，解得n="14;" （3）可知，有理項(xiàng)中知應(yīng)該是6的倍數(shù).
解：（1）因?yàn)楸绢}二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)就是各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
所以各項(xiàng)系數(shù)之和為           4分
（2）（其中n<15）的展開(kāi)式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)
分別是，，．-----------6分
依題意得，寫(xiě)成：，           7分
化簡(jiǎn)得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，
即：n²-37n+322=0,解得n=14或n=23，因?yàn)閚<15所以n=14。       9分
(2)展開(kāi)式的通項(xiàng) 
           11分
展開(kāi)式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)，           12分
0≤r≤14，所以展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是：
；
；
            14分