【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:的短軸長為2,傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:.
【答案】(1);(2)見證明
【解析】
(1)由已知得,利用點(diǎn)差法和題設(shè)得到關(guān)于,的表達(dá)式,從而得到結(jié)果;
(2)設(shè)直線,聯(lián)立橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)弦長公式和判別式可求得,再求出,利用幾何關(guān)系即可求得結(jié)果.
(1)由已知得,
設(shè),,由,
兩式相減得,
由已知條件知:,
,
∴,即,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè),聯(lián)立橢圓方程得,
則,
∴,且,.
∵,化簡得.
又∵M是弦AB的中點(diǎn),
∴,故,即.
∵,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo).為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展,不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì),九江市某校高二年級開設(shè)了《心理健康》選修課,學(xué)分為2分.學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時(shí)上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評價(jià),獲得“合格”評價(jià)的學(xué)生給予50分的平時(shí)分,獲得“不合格”評價(jià)的學(xué)生給予30分的平時(shí)分,另外還將進(jìn)行一次測驗(yàn).學(xué)生將以“平時(shí)分×40%+測驗(yàn)分×80%”作為“最終得分”,“最終得分”不少于60分者獲得學(xué)分.
該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時(shí)分及測驗(yàn)分結(jié)果如下:
測驗(yàn)分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
平時(shí)分50分人數(shù) | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平時(shí)分30分人數(shù) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表,并分析是否有95%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測驗(yàn)分是否達(dá)到60分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)?
選修人數(shù) | 測驗(yàn)分 達(dá)到60分 | 測驗(yàn)分 未達(dá)到60分 | 合計(jì) |
平時(shí)分50分 | |||
平時(shí)分30分 | |||
合計(jì) |
(2)用樣本估計(jì)總體,若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人,設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為,求的期望.
附:,其中
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879/p> | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過點(diǎn)的橢圓的兩條切線相互垂直.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn),過點(diǎn)引拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且直線過點(diǎn)?若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo));若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且與直線相切.
(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程;
(2)是否存在直線,使過點(diǎn)(0,1),并與軌跡交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過1%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:(為正常數(shù),為原污染物數(shù)量).若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過濾掉了90%,那么要能夠按規(guī)定排放廢氣,至少還需要過濾( )
A. 小時(shí)B. 小時(shí)C. 5小時(shí)D. 小時(shí)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若=2(an+an+1﹣1),求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面積的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點(diǎn),且|M1M2|=8.
(1)求p的值;
(2)設(shè)A是直線y=上一點(diǎn),直線AM2交拋物線于另一點(diǎn)M3,直線M1M3交直線y=于點(diǎn)B,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn,,且對任意的n∈N*,n≥2都有。
(1)若0,,求r的值;
(2)數(shù)列{}能否是等比數(shù)列?說明理由;
(3)當(dāng)r=1時(shí),求證:數(shù)列{}是等差數(shù)列。
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