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若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有  ②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”。給出下列四個函數中：⑴    ⑵   ⑶ 

⑷ ，能被稱為“理想函數”的有_        _ （填相應的序號） 。

 

【答案】

（4）

【解析】依題意，性質①反映函數f（x）為定義域上的奇函數，性質②反映函數f（x）為定義域上的單調減函數，（1）為定義域上的奇函數，但不是定義域上的單調減函數，其單調區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；

（2）f（x）=x2 為定義域上的偶函數，排除（2）；

（3）f（x）=，定義域為R，由于y=2x+1在R上為增函數，故函數f（x）為R上的增函數，排除（3）；

（4）的圖象如圖：顯然此函數為奇函數，且在定義域上為減函數，故（4）為理想函數

故答案為 （4）

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
1
2
(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分16分）已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件時，稱為“友誼函數”，

[1] 對任意的，總有；  [2] ；

[3] 若，，且，則有成立。

請解答下列各題：

(1)若已知為“友誼函數”，求的值；

(2)函數在區(qū)間上是否為“友誼函數”？并給出理由.

(3)已知為“友誼函數”，假定存在，使得且，求證：.

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科目：高中數學 來源：2011屆廣東省高三高考全真模擬試卷數學文卷二 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件:
① 對任意的，總有≥0； ②；
③若且，則有成立，并且稱為“友誼函數”，
請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數”，求的值；
（2）函數在區(qū)間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數”,且 ,求證:

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省揭陽市普寧二中高一（上）11月月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），試證明?x∈（x1，x2），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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