Question

設(shè)b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為x²=8（y-b）．如圖所示，過點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：（1）先求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過點(diǎn)G的切線斜率，得到過點(diǎn)G的切線方程，根據(jù)由切線方程求得的F₁點(diǎn)的坐標(biāo)，與用橢圓方程得F₁點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該相同，求出b，橢圓和拋物線的方程可得．
（2）以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，以AB為直徑的圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角等于直角，以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)．所以，共得到4個(gè)直角三角形．

解答：解：（1）由x²=8（y-b）得y=

1

8

x2+b，
當(dāng)y=b+2得x=±4，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，b+2），y′=

1

4

x，y'|_x=4=1，
過點(diǎn)G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，∴F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-b，0），由橢圓方程得F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），
∴2-b=b即b=1，即橢圓和拋物線的方程分別為

x2

2

+y2=1和x²=8（y-1）；（7分）
（2）∵過A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，
同理∴以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個(gè)；
若以∠APB為直角，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，而以AB為直徑的圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．
所以，以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)；
因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得△ABP為直角三角形．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，待定系數(shù)法求橢圓和拋物線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．