【題目】已知是函數(shù)的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)求得；通過(guò)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性，可知時(shí)極值點(diǎn)為，滿足題意；(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)可知極小值點(diǎn)位于，此時(shí)的零點(diǎn)，且此時(shí)為極小值點(diǎn)，代入得到關(guān)于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)值域即可證得結(jié)論.

(Ⅰ)因?yàn)?/span>，且是極值點(diǎn)

所以，所以

此時(shí)

設(shè) ，則

則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)

又

當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)

當(dāng) 時(shí)，，則為減函數(shù)

此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，時(shí)，不存在極小值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且 ，

所以存在

結(jié)合(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)； 時(shí)，，為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)

又 ，所以

且滿足 .

所以

由二次函數(shù)圖象可知：

又，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數(shù)，．

（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：，，中有且只有一個(gè)正確，則函數(shù)的值域是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年，依托用戶碎片化時(shí)間的娛樂(lè)需求、分享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起；與此同時(shí)，移動(dòng)閱讀方興未艾，從側(cè)面反應(yīng)了人們對(duì)精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂(lè)所帶來(lái)的短暫愉悅后，部分用戶依舊對(duì)有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊(yùn)的嚴(yán)肅閱讀青睞有加．

某讀書APP抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時(shí)長(zhǎng)不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．

（1）請(qǐng)?zhí)顚懸韵?/span>列聯(lián)表，并判斷是否有99．5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？

活躍用戶

不活躍用戶

合計(jì)

城市M

城市N

合計(jì)

（2）以頻率估計(jì)概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（3）該讀書APP還統(tǒng)計(jì)了2018年4個(gè)季度的用戶使用時(shí)長(zhǎng)y（單位：百萬(wàn)小時(shí)），發(fā)現(xiàn)y與季度（）線性相關(guān)，得到回歸直線為，已知這4個(gè)季度的用戶平均使用時(shí)長(zhǎng)為12.3百萬(wàn)小時(shí)，試以此回歸方程估計(jì)2019年第一季度（）該讀書APP用戶使用時(shí)長(zhǎng)約為多少百萬(wàn)小時(shí)．

附：，其中．

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù).若過(guò)的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn).

(1)判斷曲線的名稱并寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且，點(diǎn)D為線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)C為圓O上的一點(diǎn)，且，平面ABC，.

（1）求證：平面PAB.

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，拋物線：上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)在區(qū)間（其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最小值；

（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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