【題目】如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥ DE,∠ DCB=45°,O是BC中點(diǎn),AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=.
(1)證明:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連接OD。在三角形OCD中,利用余弦定理求出OD,在三角形AOD中通過(guò)驗(yàn)證勾股定理可得AD⊥ OD.同理可得AO⊥OE。故可得出AO⊥ 平面BCD.(2)以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD以及平面BCD的法向量。進(jìn)而可得出二面角的余弦值以及正切值。
(1)證明易得 OC=3,連接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理可得OD=,
因?yàn)?/span>AD=2,
所以AO2+OD2=AD2,所以AO⊥OD.
同理可證AO⊥OE,又OD∩OE=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)解以O點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖).
則A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,).
設(shè)n=(x,y,z)為平面ACD的法向量,
則
解得
令x=1,得n=(1,-1,),
由(1)知,=(0,0,)為平面CDB的一個(gè)法向量,
所以cos<n,>=,
即二面角A'-CD-B的平面角的正切值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上.
()求橢圓的方程.
()設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓,滿足此圓與相交于兩點(diǎn), (兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),且使得直線、的斜率之積為定值?若存在,求此圓的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若定義在上的函數(shù)滿足,且是奇函數(shù),現(xiàn)給出下列4個(gè)結(jié)論:①是周期為4的周期函數(shù);
②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
③是偶函數(shù);
④的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為 .若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為( 。
A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)若PA=AB,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),求直線AE與平面PCD所成角的正弦值;
(2)若BE⊥PC且交點(diǎn)為E,BE=a,G為CD的中點(diǎn),線段AB上是否存在點(diǎn)F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若執(zhí)行右側(cè)的程序框圖,當(dāng)輸入的x的值為4時(shí),輸出的y的值為2,則空白判斷框中的條件可能為( 。
A.x>3
B.x>4
C.x≤4
D.x≤5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為2 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F(xiàn),求∠EDF的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4:5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成如圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(13分)
(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;
(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);
(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大。ㄖ恍鑼(xiě)出結(jié)論)
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