Question

已知函數(shù)
（I）求證 
（II）若取值范圍.

Answer 1

（I）見解析（II）

（I）解法一要證
令，則，可得在
[0,1]上為增函數(shù)，故。
要證，也就是證，即證，也就是證
令，則可得在[0,1]上為增函數(shù)，
故
綜上可得
（I）解法二要證，也就是證
令，令
，即為增函數(shù)，
，可得在 [0,1]上為增函數(shù)，
故；
要證，也就是證，即證，令
，，可得
即，從而得，故
綜上可得
（II）

，
，
,從而
所以，
下面注明，
=
，令則

于是，
此時
綜上
第一問中的解法一采取對已知函數(shù)進(jìn)行分離整理，使得函數(shù)的結(jié)構(gòu)變得簡單對稱，求得導(dǎo)函數(shù)也就變得簡單了，但是在解題過程中很難想到。解法二是直接移項構(gòu)造函數(shù)，比較容易想到，但是求出導(dǎo)函數(shù)后又變得無從下手，這時候需要二次求導(dǎo)分析來解決。兩種解法各有特點(diǎn)。
第二問主要是在第一問的基礎(chǔ)上利用不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為另一個函數(shù)進(jìn)行分析解答。
【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用。