Question

試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大�。�
當n=1時，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=2時，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=3時，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=4時，有nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一個一般性的結論，并加以證明．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理與數(shù)學歸納法，我們可以列出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的前若干項，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個一般性的結論，然后利用數(shù)學歸納法進行證明．

解答：解：當n=1時，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=2時，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=3時，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
當n=4時，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
根據(jù)上述結論，我們猜想：當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①當n=3時，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假設當n=k時，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
則當n=k+1時，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)•(

k+1

k+2

)k+1＞(k+1)•(

k

k+1

)k+1=

kk+1

(k+1)k

＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即當n=k+1時也成立，
∴當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．

點評：數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．