Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
（ I） 求二面角C-DE-C₁的正切值； （ II） 求直線EC₁與FD₁所成的余弦值．

Answer 1

分析：（ I）以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，利用數(shù)量積表示出兩個(gè)向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角求出結(jié)果．
（ II）把兩條直線對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出來，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．

解答：解：（I）以A為原點(diǎn)，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則有D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）
于是，

DE

=(3，-3，0)，

EC1

=(1，3，2)，

FD1

=（-4，2，2）
設(shè)向量

n

=(x，y，z)與平面C₁DE垂直，則有cosβ=

EC1 • FD1

| EC1| ×| FD1 |

=

1×(-4)+3×2+2×2

12+32+22 × (-4)2+22+22

=

21

14

n ⊥ DE n ⊥ EC1

⇒

3x-3y=0 x+3y+2z=0

⇒x=y=-

1

2

z
∴

n

=(-

z

2

，-

z

2

，z)=

z

2

（-1，-1，2），其中z＞0
取

n0

=(-1，-1，2)，則

n0

是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量，
∵向量

AA1

=（0，0，2）與平面CDE垂直，
∴

n0

與

AA1

所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角
∵cosθ=

n0 • AA1

|n0 |× |AA1 |

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

6

3

∴tanθ=

2

2

（II）設(shè)EC₁與FD₁所成角為β，則cosβ=

EC1 • FD1

| EC1| ×| FD1 |

=

1×(-4)+3×2+2×2

12+32+22 × (-4)2+22+22

=

21

14

點(diǎn)評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出要用的空間向量，把立體幾何的理論推導(dǎo)變成數(shù)字的運(yùn)算，這樣降低了題目的難度．