Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測試，學(xué)生如果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測試，而每個學(xué)生最多也只能參加5次測試．假設(shè)某學(xué)生每次通過測試的概率都是

1

3

，每次測試通過與否互相獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（Ⅰ）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（Ⅱ）如果考上大學(xué)或參加完5次測試就結(jié)束，記該生參加測試的次數(shù)為ξ，求變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該學(xué)生考上大學(xué)的概率等于1減去該學(xué)生考不上大學(xué)的概率．考不上大學(xué)包括：①前4次測試只通過了一次，且第五次沒有通過，②前4次都沒有通過測試．
（Ⅱ）該生參加測試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5，求出ξ取每個值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求變量數(shù)學(xué)期望
Eξ 的值．

解答：解：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對立事件為

.

A

，則P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

64

243

+

16

81

=

112

243

．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．（6分）
（Ⅱ）該生參加測試次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5．
P(ξ=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(ξ=3)=

C

1 2

.

1

3

.

2

3

.

1

3

=

4

27

，
． P(ξ=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

．
由于規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試，
當(dāng)ξ=5時的情況，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過．
∴P(ξ=5) = 

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3=

32

81

．
故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
Eξ	1 9	4 27	4 27	32 81

Eξ=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

32

81

=

114

27

=

264

81

． （12分）

點評：本題考查用間接解法求獨(dú)立事件的概率（1減去其對立事件的概率），以及球離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的方法．