設(shè)f(x)=log
1
2
(
1-ax
x-1
)
為奇函數(shù),a為常數(shù),
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)證明:f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(Ⅲ)若對于[3,4]上的每一個x的值,不等式f(x)>(
1
2
)x
+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值,注意對多解的取舍.
(2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,關(guān)鍵要在自變量大小的前提下推導出函數(shù)值的大。
(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,用到了分離變量的思想.
解答:解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).
log
1
2
(
1+ax
-x-1
)=-log
1
2
(
1-ax
x-1
)
?
1+ax
-x-1
=
x-1
1-ax
>0?1-a2x2=1-x2?a=±1

檢驗a=1(舍),∴a=-1.
(2)由(1)知f(x)=log
1
2
(
x+1
x-1
)

證明:任取1<x2<x1,∴x1-1>x2-1>0
0<
2
x1-1
2
x2-1
?1+
2
x1-1
<1+
2
x2-1
?0<
x1+1
x1-1
x2+1
x2-1
?log
1
2
(
x1+1
x1-1
)>log
1
2
(
x2+1
x2-1
)

即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(3)對[3,4]于上的每一個x的值,不等式f(x)>(
1
2
)x+m
恒成立,即f(x)-(
1
2
)x>m
恒成立.
g(x)=f(x)-(
1
2
)x
.只需g(x)min>m,
又易知g(x)=f(x)-(
1
2
)x
在[3,4]上是增函數(shù),
g(x)min=g(3)=-
9
8

m<-
9
8
時原式恒成立.
點評:本題是以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題,用到了函數(shù)奇偶性,函數(shù)單調(diào)性的定義.恒成立問題中求字母的取值范圍問題往往通過分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比較f(1,3)與f(2,2)的大;
(2)若e<x<y,證明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)設(shè)g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,曲線C在x0處的切線斜率為k,若x0∈(1,1-a),且存在實數(shù)b,使得k=-4,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
log
1-mx
x-1
a
為奇函數(shù),g(x)=f(x)+loga(x-1)(ax+1)( a>1,且m≠1).
(1)求m值;
(2)求g(x)的定義域;
(3)若g(x)在[-
5
2
,-
3
2
]
上恒正,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+a
1+2x
(a∈R)是R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若m∈R+,且滿足log
1+x
1-x
>log3
1+x
m
,求x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

定義y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比較f(1,3)與f(2,2)的大小;
(2)若e<x<y,證明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)設(shè)g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,曲線C在x0處的切線斜率為k,若x0∈(1,1-a),且存在實數(shù)b,使得k=-4,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年高三作業(yè)檢測數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

定義y=log1+xf(x,y),f(x,y)=(1+x)y(x>0,y>0)
(1)比較f(1,3)與f(2,2)的大;
(2)若e<x<y,證明:f(x-1,y)>f(y-1,x);
(3)設(shè)g(x)=f(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C,曲線C在x處的切線斜率為k,若x∈(1,1-a),且存在實數(shù)b,使得k=-4,求實數(shù)a的取值范圍.

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