Question

如圖1-3-4，已知△ABC中，AB =AC，AD是BC邊上的中線，CF∥BA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn).求證:BP²=PE·PF.

圖1-3-4

 

 

Answer 1

思路解析:因?yàn)?I >BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)?I >AB =AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB =PC，只需證明△PEC∽△PCF，問題就能解決了.

圖1-3-5

證明:連結(jié)PC，在△ABC中，?

∵AB =AC，D為BC中點(diǎn)，?

∴AD垂直平分BC.?

∴PB =PC.?

∴∠1=∠2.?

∵AB =AC，?

∴∠ABC =∠ACB.?

∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.?

∴∠3=∠4.?

∵CF∥AB，?

∴∠3=∠F.?

∴∠4=∠F.?

又∵∠EPC=∠CPF，?

∴△PCE∽△PFC.?

∴=.?

∴PC² =PE·PF.?

∵PC =PB，?

∴PB² =PE·PF.