Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x3﹣3x+2，切點(diǎn)為（0，2），

∴f′（x）=3x2﹣3，

∴切線的斜率為k=f′（0）=﹣3，

則切線方程為y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0

（2）解：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a）．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，

∴f（x）min=f（0）=2；

當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）= ．

①若0＜ ，即0＜a＜1時(shí)，

當(dāng)0 時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng) 時(shí)，f′（x）＞0．

∴f（x）在[0， ）上為減函數(shù)，在（ ]上為增函數(shù)．

∴ ；

②若 ，即a≥1時(shí)，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．

∴f（x）min=f（1）=3﹣3a．

綜上：

【解析】（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，并求出f′（0），然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類分析，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，求得函數(shù)最小值；當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）= ．然后由1分界討論求得函數(shù)的最小值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．