Question

在數(shù)列中，．
（1）求數(shù)列的通項；
（2）若對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）a_n=；（2）λ∈（﹣∞，]．

試題分析：（1）將3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0（n≥2）整理得：，可得{}為等差數(shù)列，由此求出數(shù)列{}的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入λa_n﹣a_n+1≤0，分離參數(shù)，得到λ≤，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可解決；
試題分析：（1）由題意知數(shù)列各項不為0，
由3a_na_n﹣1+a_n﹣a_n﹣1=0，得3+﹣=0，
所以，
所以數(shù)列{}為等差數(shù)列，首項為1，公差為3，
則=1+（n﹣1）•3=3n﹣2，所以a_n=；
（2）若λa_n﹣a_n+1≤0恒成立，即λ≤恒成立，整理得：λ≤=1﹣，
設(shè)f（x）=1﹣，可知f（x）在x∈（﹣，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n=1時，[1﹣]min=，
所以λ的取值范圍為λ∈（﹣∞，]．