【題目】大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示,開口為正六邊形ABCDEF,側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三個全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,因此,有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計自己的家園.英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′=109°28′16'.已知一個房中BB'=5,AB=2,tan54°44′08',則此蜂房的表面積是_____.
【答案】216
【解析】
表面積分兩部分來求,一是底面,是三個全等的菱形,連接BD,B′D′,易得BD∥B′D′,BD=B′D′=6,再根據(jù)∠B′C′D′=109°28′16',tan54°44′08',得到OC′,B′C′,可計算菱形的面積,二是側(cè)面,是六個全等的直角梯形,由B′C′,結(jié)合BB′,BC,得到CC′,求得梯形的面積,然后兩部分相加即可.
如圖所示:
連接BD,B′D′,則由題意BD∥B′D′,BD=B′D′=6,
∵四邊形OB′C′D′為菱形,∠B′C′D′=109°28′16',tan54°44′08',
∴OC′=226,B′C′=3,
∴CC′=BB′4,
∴S梯形BB′CC′27,
∴S表面積=63216.
故答案為:216.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為,橢圓的一個焦點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,為橢圓上的兩個動點,直線,的斜率分別為,,當(dāng)時,的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).(為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當(dāng)時,求在處的切線方程,并討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,,求整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=-1時,
①求曲線y= f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
②求函數(shù)f(x)的最小值;
(II)求證:當(dāng)時,曲線與有且只有一個交點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行志愿投檔錄取模式是高考志愿的一種新方式,2008年教育部在6個省區(qū)實行平行志愿投檔錄取模式的試點改革.一年的實踐證叨,實行平行志愿投檔錄取模式,有效降低了考生志愿填報風(fēng)險.平行志愿是這樣規(guī)定:在同一批次設(shè)置幾個志愿,當(dāng)考生分?jǐn)?shù)達(dá)到這幾個學(xué)校提檔線時,本批次的志愿依次檢索錄取.某考生根據(jù)對自己的高考分?jǐn)?shù)和對往年學(xué)校錄取情況分析,從報考指南中選擇了10所學(xué)校,作出如下表格:
學(xué)校 | ||||||||||
專業(yè) | 數(shù)學(xué)系 | 計算機(jī)系 | 物理系 | |||||||
錄取概率 | 0.5 | 0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.7 | 0.8 | 0.9 |
(1)該考生從上表中的10所學(xué)校中選擇4所學(xué)校填報,記為選擇的4所學(xué)校中報數(shù)學(xué)系專業(yè)的個數(shù),求的分布列及其期望;
(2)若該考生選擇了、、、這4個學(xué)校在同一批次填報志愿,填報志愿表如下,如果僅以該考生對自己分析的錄取概率為依據(jù),當(dāng)改變這4個志愿填報的順序時,是否改變他本批次錄取的可能性?請說明理由.
志愿 | 學(xué)校 |
第一志愿 | |
第二志愿 | |
第三志愿 | |
第四志愿 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為.
(1)若直線l與曲線C1交于M、N兩點,求線段MN的長度;
(2)若直線l與x軸,y軸分別交于A、B兩點,點P在曲線C2上,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若,討論函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若有兩個極值點、,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自湖北爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來,湖北某市醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重匱乏,全國各地紛紛馳援.某運輸隊接到從武漢送往該市物資的任務(wù),該運輸隊有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運輸隊每天至少運送240t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車5次,B型卡車4次,每輛卡車每天往返的成本A型卡車1200元,B型卡車1800元,則每天派出運輸隊所花的成本最低為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的方程為,斜率為的直線與橢圓交于,兩點,點在直線的左上方.
(1)若以為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓右焦點,求此時直線的方程;
(2)求證:的內(nèi)切圓的圓心在定直線上.
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