如圖，已知點為橢圓右焦點，圓與橢圓的一個公共點為，且直線與圓相切于點.

（1）求的值及橢圓的標準方程；
（2）設(shè)動點滿足，其中M、N是橢圓上的點，為原點，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值.
（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，由橢圓C過點（0,1）點，所以得到，由，得，在直角三角形AFB中，利用勾股定理求參數(shù)a，c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設(shè)出點M，N，P的坐標，代入到中，得到與、的關(guān)系，得到與、的關(guān)系，又由于點M，N在橢圓上，代入橢圓方程中，得到關(guān)系式，都代入到所求的式子中，化簡得到定值.
試題解析：（1）由題意可知，又.又 .   2分
在中，，
故橢圓的標準方程為：            6分
（2）設(shè)
∵M、N在橢圓上，∴
又直線OM與ON的斜率之積為，∴，
于是
.故為定值.    13分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的一個焦點為，離心率為．設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.
求證：以為直徑的圓過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點，且

（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，若過點M(2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

（已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，A是右頂點，B是虛軸的上端點，F(xiàn)是左焦點，
當BF⊥AB時，此類雙曲線稱為“黃金雙曲線”，其離心率為，類比“黃金雙曲線”，推算出“黃金橢圓”（如圖）的離心率=_________；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若點和點分別為橢圓的中心和右焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為（ ）
A．B．-C．D．1

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