Question

【題目】

已知函數(shù)f(x)＝xln x－x.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)若x>0，f(x)＋ax2≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值，極小值為f(1)＝－1，無極大值. (2)

【解析】試題分析：(1) x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，討論f′(x)的符號(hào)，求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）x>0，f(x)＋ax2≤0成立通過變量分離轉(zhuǎn)化為a≤在(0，＋∞)上恒成立問題即可.

試題解析：

(Ⅰ)依題意，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，

令f′(x)＝0，得x＝1，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值，極小值為f(1)＝－1，無極大值.

(Ⅱ)x>0，f(x)＋ax2≤0，a≤－，

令g(x)＝－，

g′(x)＝－－＝，

當(dāng)0<x<e2時(shí)，g′(x)<0，當(dāng)x>e2時(shí)，g′(x)>0，

∴g(x)在(0，e2]上是減函數(shù)，在[e2，＋∞)上是增函數(shù)，

∴g(x)min＝g(e2)＝－＝－，

∴a≤－，∴a的取值范圍是.