已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為
3
,左頂點為(-1,0).
(1)求雙曲線方程;
(2)已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且線段AB的中點在圓x2+y2=5上,求m的值和線段AB的長.
分析:(1)依題意e=
3
,a=1
,故c=
3
,所以b2=2,由此能求出雙曲線方程.
(2)由
x2-
y2
2
=1
x-y+m=0
,得x2-2mx-m2-2=0,故
x1+x2=2m
x1x2=-m2-2
,中點在直線x-y+m=0上,所以可得中點坐標(biāo)為(m,2m),由此能求出m的值和線段AB的長..
解答:解:(1)依題意e=
3
,a=1

c=
3
,
所以b2=2(2分)
所以雙曲線方程為x2-
y2
2
=1
(4分)
(2)由
x2-
y2
2
=1
x-y+m=0

得x2-2mx-m2-2=0,(6分)
x1+x2=2m
x1x2=-m2-2
,
又∵中點在直線x-y+m=0上,
所以中點坐標(biāo)為(m,2m),
代入x2+y2=5得m=±1(8分)
|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=4
2
.(12分)
點評:本題考查雙曲線方程的求法,考查實數(shù)值的求法和計算弦長,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•許昌三模)已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
2
,
3
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:寧波模擬 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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