已知函數(shù)f(x)=-x3-ax2+b2x+1(a、b∈R).
(1)若a=1,b=1,求f(x)的極值和單調區(qū)間;
(2)已知x1,x2為f(x)的極值點,且|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,若當x∈[-1,1]時,函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m,求m的取值范圍
(1)f(x)=-x3-x2+x+1,f′(x)=-3x2-2x+1
=-(3x-1)(x+1).
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,) |
(,+∞) |
|
f′(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
f(x) |
減 |
極小 值0 |
增 |
極大 值 |
減 |
f(x)的極大值為,極小值為0.
f(x)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為(-∞,-1),.
(2)∵f(x)=-x3-ax2+b2x+1,
∴f′(x)=-3x2-2ax+b2,又x1,x2為f(x)的極值點,
∴x1,x2為方程-3x2-2ax+b2=0的兩根,
x1+x2=-,x1x2=-,
∵|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|,
∴|-x-ax+b2x1+1+x+ax-b2x2-1|=|x1-x2|,
整理得|x+x1x2+x+a(x1+x2)-b2|=,
即=,
∴a2+3b2=1,∴a2≤1.
∵k=f′(x)=-3x2-2ax+b2=-3x2-2ax+,
f′(x)max=f′=,
∴m>.
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆南京市金陵中學高三第四次模擬考試數(shù)學試題 題型:解答題
(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a為正數(shù)).
(1) 若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的單調區(qū)間;
(3) 設g(x)=x2-2x,若對任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年浙江省杭州市高三上學期開學考試數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù),則f(1)的范圍是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省高三第三次月考文科數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=若f(a)=,則a= ( )
A.-1 B.
C.-1或 D.1或-
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學試題 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x無實根,下列命題中:
(1)方程f [f (x)]=x一定無實根;
(2)若a>0,則不等式f [f (x)]>x對一切實數(shù)x都成立;
(3)若a<0,則必存在實數(shù)x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,則不等式f [f (x)]<x對一切x都成立;
正確的序號有 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆江西省南昌市高三第一次模擬測試卷理科數(shù)學試卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|-()x有兩個零點x1,x2,則有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
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