【題目】證明與化簡.
(1)求證:cotα=tanα+2cot2α;
(2)請利用(1)的結(jié)論證明:cotα=tanα+2tan2α+4cot4α;
(3)請你把(2)的結(jié)論推到更一般的情形,使之成為推廣后的特例,并加以證明:
(4)化簡:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°.

【答案】
(1)證明:tanα+2cot2α=tanα+

=tanα+2×

=tanα+ ﹣tanα

=cotα,

∴cotα=tanα+2cot2α.


(2)證明:∵cotα=tanα+2cot2α,

∴tanα+2tan2α+4cot4α

=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α

=cotα,

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α


(3)證明:一般地,cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n1tan2n1α+2ncot2nα,n∈N*

證明:∵cotα=tanα+2cot2α,∴cot2α=tan2α+2cot4α,

∴cotα=tanα+2tan2α+4cot4α=tanα+2tan2α+22cot22α,

以此類推得cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n1tan2n1α+2ncot2nα,n∈N*


(4)解:tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°

=tan5°+2tan10°+4tan20°+8cot40°

=cot5°.


【解析】(1)tanα+2cot2α=tanα+2× ,由此能證明cotα=tanα+2cot2α.(2)由cotα=tanα+2cot2α,得到tanα+2tan2α+4cot4α=cotα﹣2cot2α+2cos2α﹣4cot4α+4cot4α,由此能證明cotα=tanα+2tan2α+4cot4α.(3)一般地,cotα=tanα+2tan2α+22tan22α+…+2n1tan2n1α+2ncot2nα,n∈N* . 再由合情推量進(jìn)行證明.(4)利用(3)的一般結(jié)論直接化簡.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.3
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D.

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女生成績在165cm以上(包括165cm)定義為“合格”,成績在165cm以下(不包括165cm)定義為“不合格”.

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