【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點(diǎn)與橢圓E長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，求的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的長(zhǎng)軸及離心率，進(jìn)而可得到橢圓C的短軸和離心率，進(jìn)而可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線的斜率不存在，易知直線與橢圓相切，不符合題，從而可知直線的斜率存在，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合，可得，然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合，可求得弦長(zhǎng)的最大值.

（1）由題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，

設(shè)橢圓的方程為，則橢圓的短軸長(zhǎng)為，即，離心率為，解得，故橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意，故直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，

聯(lián)立，消去得，，

則，整理得，顯然成立，

且，，

則，

整理得，

又因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則，，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，即時(shí)，取得最大值 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）（2017·長(zhǎng)春市二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，點(diǎn)，分別為和中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個(gè)蛋糕成本3元，且以8元的價(jià)格出售，若當(dāng)天賣不完，剩下的則無償捐獻(xiàn)給飼料加工廠。根據(jù)以往100天的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下需求量表。該蛋糕店一天制作了這款蛋糕個(gè)，以（單位：個(gè)，，）表示當(dāng)天的市場(chǎng)需求量，（單位：元）表示當(dāng)天出售這款蛋糕獲得的利潤(rùn).

需求量/個(gè)

天數(shù)

15

25

30

20

10

（1）當(dāng)時(shí)，若時(shí)獲得的利潤(rùn)為，時(shí)獲得的利潤(rùn)為，試比較和的大��；

（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)上表，從利潤(rùn)不少于570元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取6天.

（i）求此時(shí)利潤(rùn)關(guān)于市場(chǎng)需求量的函數(shù)解析式，并求這6天中利潤(rùn)為650元的天數(shù)；

（ii）再從這6天中抽取3天做進(jìn)一步分析，設(shè)這3天中利潤(rùn)為650元的天數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

(1) 證明：PB∥平面AEC

(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A，B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1 000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時(shí)，獲利1 200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位：噸)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為

W

12

15

18

P

0.3

0.5

0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個(gè)隨機(jī)變量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知P，Q是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，若直線恰好垂直平分線段PQ，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，且的面積是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）若過點(diǎn)的直線，互相垂直，且分別與橢圓交于點(diǎn)，，，四點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某校中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方式從中抽取一個(gè)容量為50的樣本進(jìn)行調(diào)查.

（1）求樣本中高中生、初中生及小學(xué)生的人數(shù)；

（2）從該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，用頻率估計(jì)概率，求恰有1名學(xué)生近視的概率；

（3）假設(shè)高中生樣本中恰有5名近視學(xué)生，從高中生樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示2名學(xué)生中近視的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓:和定點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求的方程;

(2)過點(diǎn)作直線與曲線相交于,兩點(diǎn)(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點(diǎn),總有?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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