Question

【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形，E，F(xiàn)分別是A1C1 ， B1C1上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足A1E=EC1 ， B1F=3FC1 ．
（1）求證：平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長(zhǎng)均相等，求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取B1C1的中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，

∵B1F=3FC1，F(xiàn)G=FC1，∴EF∥A1G，

在等邊△A1B1C1中，由G是B1C1的中點(diǎn)，知A1G⊥B1C1，

∴EF⊥B1C1，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，

又∵EF平面A1B1C1，∴BB1⊥EF，

∵BB1∩B1C1=B1，∴EF⊥平面BB1C1C，

又EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面BB1C1C

（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AA1，AC分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱均為2，則A（0，0，0），B（ ），E（0，1，2），

∴ =（0，1，2）， =（ ），

設(shè) =（x，y，z）是平面ABE的一個(gè)法向量，

由 ，取x=﹣2，得 =（﹣2，2 ，﹣ ），

平面AEC1的一個(gè)法向量 =（1，0，0），

設(shè)二面角C1﹣AE﹣B的平面角為θ，

則cosθ= = ．

∴二面角C1﹣AE﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）取B1C1的中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，推導(dǎo)出EF∥A1G，A1G⊥B1C1，從而EF⊥B1C1，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱，得到BB1⊥EF，從而EF⊥平面BB1C1C，由此能證明平面AEF⊥平面BB1C1C．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AA1，AC分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直．