已知過拋物線x2=4y的焦點，斜率為k（k＞0）的直線l交拋物線于A（x1，y2），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，且|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）若點C（x3，y3）是拋物線弧AB上的一點，求△ABC面積的最大值，并求出點C的坐標．
分析：（1）由拋物線的方程即可得出焦點坐標，可設直線AB的方程y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、利用拋物線的定義可得弦長公式，即可得出k．
（2）設與直線l平行的直線方程為y=x+m，由題意可知當該直線與拋物線相切時，該切點到直線l的距離最大，利用導數(shù)即可得出切點坐標，進而得到三角形的面積．
解答：解：（1）拋物線x2=4y的焦點（0，1），
設直線AB的方程是y=kx+1，
聯(lián)立
y=kx+1
x2=4y
，整理得x2-4kx-4=0，
∴x1+x2=4k，
由拋物線定義得：|AB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=8，
∴k2=1，k=±1．
∵k＞0，∴k=1，直線方程為：y=x+1．
（2）設與直線l平行的直線方程為y=x+m，
由題意可知當該直線與拋物線相切時，該切點到直線l的距離最大，
y′=
1
2
x，令
1
2
x=1，解得x=2．
∴點C（2，1），點C到直線AB距離d=
2
，
(S△ABC)max=
1
2
•
2
•8=4
2
．
點評：熟練掌握拋物線的定義、標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的位置關系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長公式等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過點A（-4，0）的動直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點．當l的斜率是
1
2
時，
AC
=4
AB
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C1：y2=2px（p＞0）焦點F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點 
（1）證明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）點Q為線段AB的中點，求點Q的軌跡方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐標軸為對稱軸的橢圓或雙曲線C2過A、B兩點，求曲線C1和C2的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C2的兩焦點分別為F1、F2，線段AB上有兩點C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F1 F2上是否存在一點P，使PD=
11
，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x2=py相切于點T（-4，yo）；中心在坐標原點，一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點．
（1）求直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程；
（3）設點M（x1，yl）是拋物線C上任意一點，D（0，-2）為定點，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)是拋物線x2=2py（p＞0）的焦點，點R（1，4）為拋物線內(nèi)一定點，點Q為拋物線上一動點，|QR|+|QF|的最小值為5．
（1）求拋物線方程；
（2）已知過點P（0，-1）的直線l與拋物線x2=2py（p＞0）相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，l1、l2分別是該拋物線在A、B兩點處的切線，M、N分別是l1、l2與直線y=-1的交點．求直線l的斜率的取值范圍并證明|PM|=|PN|．

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科目：高中數(shù)學 來源：模擬題 題型：解答題

已知過點A(-4，0)的動直線l與拋物線C：x2=2py(p＞0)相交于B，C兩點，當l的斜率是時，，
(1)求拋物線C的方程；
(2)設BC的中垂線在y軸上的截距為b，求實數(shù)b的取值范圍．

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