Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？
（2）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置．

Answer 1

分析：（1）以AB、AC、AA₁分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，可得向量

PN

的坐標(biāo)關(guān)于λ的表示式，而平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)，可建立sinθ關(guān)于λ的式子，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)λ=

1

2

時，角θ達(dá)到最大值；
（2）根據(jù)垂直向量的數(shù)量積等于0，建立方程組并解之可得平面PMN的一個法向量為

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，而平面PMN與平面ABC所成的二面角等于向量

m

、

n

所成的銳角，由此結(jié)合已知條件建立關(guān)于λ的方程并解之，即可得到λ的值，從而確定點P的位置．

解答：解：（1）以AB、AC、AA₁分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)，易得平面ABC的一個法向量為

n

=(0，0，1)
則直線PN與平面ABC所成的角θ滿足：
sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

| PN • n |

| PN || n |

=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

（*），于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，
而θ∈[0，

π

2

]，當(dāng)θ最大時，sinθ最大，
所以當(dāng)λ=

1

2

時，(sinθ)max=

2 5

5

，同時直線PN與平面ABC所成的角θ得到最大值．
（2）已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
即可得到平面ABC的一個法向量為

n

=

AA1

=(0，0，1)，
設(shè)平面PMN的一個法向量為

m

=(x，y，z)，

MP

=(λ，-1，

1

2

)．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0

，解得

y= 2λ+1 3 x z= 2(1-λ) 3 x

．
令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))，于是
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解之得：λ=-

1

2

，故點P在B₁A₁的延長線上，且|A1P|=

1

2

．

點評：本題給出特殊三棱柱，探索了直線與平面所成角的最大值，并求二面角為45度時動點的位置，著重考查了用空間向量求直線與平面的夾角和用空間向量求平面間的夾角等知識，屬于中檔題．