Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）（a∈R）
（1）若a=0，判斷函數(shù)的單調性
（2）函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當

1

e

＜x＜y＜1時，試比較

y

x

與

1+lny

1+lnx

的大�。�

Answer 1

分析：（1）把a=0代入函數(shù)解析式，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導函數(shù)在每段的符號可得原函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）由f（1）=2求出a的值，把f（x）代入f（x）≥bx²+2x，分離變量b后得到b≤1-

1

x

-

lnx

x

，利用導數(shù)求函數(shù)g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

的最小值，則b的取值范圍可求；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-

1+lnx

x

在（0，1）上單調遞減，因為

1

e

＜x＜y＜1，利用函數(shù)單調性可比較

y

x

與

1+lny

1+lnx

的大�。�

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x-xlnx，函數(shù)定義域為（0，+∞）．
f^′（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．
x∈（0，1）時，f^′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
x∈（1，+∞）時，f^′（x）＜0f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由f（1）=2，得a=1，所以f（x）=x²+x-xlnx，由f（x）≥bx²+2x，得b≤1-

1

x

-

lnx

x

．
令g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0；
（3）由（Ⅱ）知g(x)=1-

1+lnx

x

在（0，1）上單調遞減
∴

1

e

＜x＜y＜1時，g（x）＞g（y）
即

1+lnx

x

＜

1+lny

y

而

1

e

＜x＜y＜1時，-1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，訓練了利用函數(shù)單調性比較不等式的大小是有一定難度題目．