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如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得幾何體B-ACD
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點D到面ABC的距離．
（Ⅰ）證明：∵BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥平面ACD，
又∵AC?平面ACD，∴AC⊥BD
在△ACD中，∠ADC=
π
6
，AD=2，CD=
3
，
∴AC2=AD2+CD2-2AD•CDcos∠ADC=1
∴AD2=CD2+AC2，∴AC⊥CD，
又BD∩CD=D，∴AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）過D點作DE⊥BC，垂足為E點
由（Ⅰ）知：AC⊥平面BCD
∵AC?面ABC
∴面ABC⊥面BCD…（8分）
又∵面ABC∩面BCD=BC
∴DE⊥面ABC
∴DE即為點D到面ABC的距離…（10分）
∵在Rt△BCD中，BC•DE=BD•CD
∴2DE=1×
3

∴DE=
3
2

∴點D到面ABC的距離為
3
2
…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側棱BB1的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A1D1E；
（II）求三棱錐A-A1D1E的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點
（Ⅰ）求證：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB內能否找一點N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M是PB的中點．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PAC．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB=2，AC=BC=
2
．等邊三角形ADB以AB為軸運動．當CD=______時，面ACD⊥面ADB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體AC′中，AB=AC=a，BB′=b（b＞a），連接BC′，過點B′作B′E⊥BC′交CC′于E．
（1）求證：AC′⊥平面EB′D′；
（2）求三棱錐C′-B′D′E的體積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面BDE⊥平面PBC．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，
求證：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．

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