Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=1，AC=AA1=

3

，∠ABC=

π

3

．我們易得AB⊥AC，又由直三棱柱的幾何特征得AA₁⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定定理，可得AB⊥平面AA₁C，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可得到AB⊥A₁C；
（Ⅱ）取A₁C中點D，連AD，BD，由已知易得AD⊥A₁C，結(jié)合三垂線定理，我們可得∠BDA為二面角A-A₁C-B的平面角，解三角形BDA，即可求出二面角A-A₁C-B的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，AB=1，AC=

3

，∠ABC=

π

3

∴AB⊥AC，又AA₁⊥AB，則AB⊥平面AA₁C
∵A₁C在平面ABC內(nèi)的射影為AC，∴AB⊥A₁C              …（6分）
（Ⅱ）取A₁C中點D，連AD，BD∵AA₁=AC=

3

∴AD⊥A₁C，且AD=

6

2

，
由三垂線定理得 BD⊥A₁C
∴∠BDA為二面角A-A₁C-B的平面角．
∴tan∠BDA=

AB

AD

=

6

3

，∴sin∠BDA=

10

5

∴二面角A-A₁C-B的正弦值為

10

5

．                 …（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角及求法，其中（I）的關(guān)鍵，是要根據(jù)已知條件及三棱柱的幾何特征得到線面垂直的條件，（II）的關(guān)鍵是找出二面角的平面角．