Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²+bx+1）（其中a，b∈R），函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（-1）=0．
（Ⅰ）若b=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為0，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（-1）=0，求出a的值，由b=1，求出f（0），f′（0），代入切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為0，求出b的值即可．

解答 解：因?yàn)閒（x）=e^x（ax²+bx+1），所以f'（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+1]．
因?yàn)閒'（-1）=0，所以a-（2a+b）+b+1=0．
所以a=1．                                           …（2分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，b=1時(shí)，f（0）=1，f'（0）=2，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y-1=2（x-0）．
即2x-y+1=0．                                     …（4分）
（Ⅱ）由已知得f（x）=e^x（x²+bx+1），
所以f'（x）=e^x[x²+（2+b）x+b+1]=e^x（x+1）（x+b+1）．
（1）當(dāng)-b-1＜-1，即b＞0時(shí)，
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＞-1或x＜-b-1；
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＜0得，-b-1＜x＜-1．
所以函數(shù)f（x）在（-1，+∞）和（-∞，-b-1）上單調(diào)遞增，在（-b-1，-1）上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-1）=e^-1（2-b）=0．
解得b=2．顯然合題意．
（2）當(dāng)-b-1=-1時(shí)，即b=0時(shí)，f'（x）=e^x（x+1）²≥0恒成立，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-1）=e^-1（2-b）=0．
解得b=2．顯然不符合題意．
（3）當(dāng)-b-1＞-1時(shí)，即b＜0時(shí)，
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＞0得，x＜-1或x＞-b-1；
令f'（x）=e^x（x+1）（x+b+1）＜0得，-1＜x＜-b-1．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（-b-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，-b-1）上單調(diào)遞減．
①若-b-1≥1，即b≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（1）=e（2+b）=0．
解得b=-2．顯然合題意．
②若-b-1＜1，即-2＜b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在在（-1，-b-1）上單調(diào)遞減，在（-b-1，1）上單調(diào)遞增．
此時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為f（-b-1）=e^-b-1（b+2）=0．
解得b=-2．顯然不合題意．
綜上所述，b=2或b=-2為所求．                      …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線范圍問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．