Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)，已知f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）當(dāng)a=1，b=-2求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；
（2）若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異不動點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，令，解關(guān)于x的不等式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，
ax²+（b+1）x+（b-1）=x可化為x²-x-3=x
∴x²-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不動點(diǎn)為-1或3．
（2）對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異不動點(diǎn)，即ax²+bx+（b-1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根
∴△₁＞0，即b²-4ab+4a＞0對任意b∈R恒成立
∴△₂=16a²-16a＜0
∴0＜a＜1
（3）
∵，
∴-1＜x＜1
∴（1+x）（1-x）＞0
∵0＜a＜1
∴l(xiāng)na＜0
∴g′（x）＜0
∴g（x）在定義域（-1，1）上遞減，
∵
∴可化為
∴
∴或
分析：（1）將a=1，b=-2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動點(diǎn)即可；
（2）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個(gè)不動點(diǎn)，即ax²+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，可通過判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為16a²-16a＜0即可．
（3）先證明g（x）在定義域（-1，1）上遞減，再利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式組，從而得解．
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，考查新定義，考查函數(shù)的單調(diào)性考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是對新定義的理解．