【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為4的等邊三角形，，為的中點.

（1）證明：平面.

（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解二面角.

（1）證明：連接.

因為，，，所以，所以.

因為為的中點，所以.

因為為的中點，且，所以.

因為，所以平面.

（2）解：取的中點，連接，因為是等邊三角形，所以.

由（1）可知平面，則，，兩兩垂直，故以為原點，所在直線為軸，過作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因為底面是邊長為4的等邊三角形，所以.

因為是等邊三角形，所以.

所以，，，，則，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，得.

易知平面的一個法向量為，

記二面角為，則，

故.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中,分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足.

(Ⅰ)求的大��；

(Ⅱ)現(xiàn)給出三個條件：①； ②；③.

試從中選出兩個可以確定的條件，寫出你的選擇并以此為依據(jù)求的面積 (只需寫出一個選定方案即可,選多種方案以第一種方案記分)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為點，左、右頂點分別為，長軸長為，橢圓上任意一點（不與重合）與連線的斜率乘積均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過點的直線與橢圓交于兩點，過點的直線與橢圓交于兩點，且，試問：四邊形可否為菱形？并請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線：上．

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)圓與軸相交于、兩點，點為圓上不同于、的任意一點，直線、交軸于、點．當(dāng)點變化時，以為直徑的圓是否經(jīng)過圓內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知二次函數(shù)（、、均為實常數(shù)，）的最小值是0，函數(shù)的零點是和，函數(shù)滿足，其中，為常數(shù).

（1）已知實數(shù)、滿足、，且，試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求證：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)實施“光盤行動”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動計劃,進(jìn)店的每一位客人需預(yù)交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時,根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計算(如剩余升,記為剩余升).例如:結(jié)賬時,某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應(yīng)付元.統(tǒng)計表明飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.

剩余酒量(單位:升)

升以上(含升)

結(jié)賬時的倍率

（1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關(guān)于的回歸直線方程;

（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時,酒吧服務(wù)生對小王說,根據(jù)他的經(jīng)驗,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請位或位朋友一起來飲酒,會更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？

參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，二面角中，，射線，分別在平面，內(nèi)，點A在平面內(nèi)的射影恰好是點B，設(shè)二面角、與平面所成角、與平面所成角的大小分別為，則（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓與定點，動圓過點且與圓相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若過定點的直線交軌跡于不同的兩點、，求弦長的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某冰糖橙，甜橙的一種，云南著名特產(chǎn)，以味甜皮薄著稱。該橙按照等級可分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級（每箱有5kg）,某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱，利用橙子的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級

珍品

特級

優(yōu)級

一級

箱數(shù)

40

30

10

20

（1）若將頻率改為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱，求恰好抽到2箱是一級品的概率：

（2）利用樣本估計總體，莊園老板提出兩種購銷方案供采購商參考：

方案一：不分等級賣出，價格為27元/kg;

方案二：分等級賣出，分等級的橙子價格如下：

等級

珍品

特級

優(yōu)級

一級

售價（元/kg）

36

30

24

18

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

（3）用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱，X表示抽取的是珍品等級，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案