Question

已知a＞0，b＞0，且h=min {a，  

b

a2+4b2

}，其中min{a，b}表示數(shù)a，b中較小的數(shù)，則h的最大值為

1

2

．

Answer 1

分析：將兩個(gè)數(shù)a與

b

a2+4b2

相乘，得到

ab

a2+4b2

=

1

a b + 4b a

，運(yùn)用基本不等式得到這個(gè)積的最大值為

1

4

，再根據(jù)a與

b

a2+4b2

兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，討論得當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)，它們當(dāng)中的較小數(shù)取最大值，可得正確答案．

解答：解：∵a＞0，b＞0
∴a•

b

a2+4b2

=

ab

a2+4b2

＞0
∵

ab

a2+4b2

=

1

a b + 4b a

且

a

b

+

4b

a

≥ 2

a b  • 4b a

=4
∴

ab

a2+4b2

≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，取等號
∵a與

b

a2+4b2

兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，且積為

1

4

∴當(dāng)a=2b=

1

2

，即a=

1

2

，b=

1

4

時(shí)，a與

b

a2+4b2

相等且為

1

2

，
當(dāng)a≠2b時(shí)，a與

b

a2+4b2

不相等，且較小的數(shù)小于

1

2

，較大的數(shù)大于

1

2

所以，當(dāng)a=2b=

1

2

，即a=

1

2

，b=

1

4

時(shí)，時(shí)h=min {a， 

b

a2+4b2

}的值最大
且這個(gè)最大值為

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的最值為載體，考查了基本不等式求最值和函數(shù)的最值及其幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．