(2012•楊浦區(qū)二模)如圖,橢圓C1
x2
4
+y2=1,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長.
(1)求實數(shù)b的值;
(2)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA、MB分別與C1相交與D、E.
①證明:MD•ME=0;
②記△MAB,△MDE的面積分別是S1,S2.若
S1
S2
=λ,求λ的取值范圍.
分析:(1)確定半長軸為2,利用x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長等于C1的長半軸長,可求b的值;
(2)①設(shè)直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-1),可得kMAkMB=-1,從而得證;
②設(shè)直線的斜率為k1,則直線的方程為y=k1x-1,代入拋物線方程可得x2=k1x,從而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)、點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而可得S1,同理可得S2,進(jìn)而可得比值,由此可得λ的取值范圍.
解答:(1)解:由題意知:半長軸為2,則有2
b
=2              …(3分)
∴b=1                                 …(4分)
(2)①證明:由題意知,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線的方程為y=kx.
與拋物線方程聯(lián)立,消去y可得x2-kx-1=0,…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,于是x1+x2=k,x1x2=-1.…(7分)
又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-1),所以kMAkMB=
y1+1
x1
×
y2+1
x2
=
-k2+k2+1
-1
=-1…(9分)
故MA⊥MB,即MD⊥ME,故
MD
ME
=0
                …(10分)
②設(shè)直線的斜率為k1,則直線的方程為y=k1x-1,代入拋物線方程可得x2=k1x,解得x=0或x=k1,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(k1,k12-1) …(12分)
同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-
1
k1
,
1
k12
-1)

于是S1=
1
2
|MA||MB|
=
1
2
1+k12
|k1
1+
1
k12
×|-
1
k1
|
=
1+k12
2|k1|

直線的方程為y=k1x-1,代入橢圓方程,消去y,可得(1+4k12)x2-8k1x=0,解得x=0或x=
8k1
1+4k12
,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
8k1
1+4k12
,
4k12-1
1+4k12
)
;    …(14分)
同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)(
-8k1
4+k12
,
4-k12
4+k12
)

于是S2=
1
2
|MD||ME|
=
32(1+k12)|k1|
(1+4k12)(4+k12)

因此
S1
S2
=
1
64
(4k12+
4
k12
+17)
,…(16分)
又由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)可知,k=
k12-
1
k12
k1+
1
k1
=k1-
1
k1
,平方后代入上式,
所以λ=
4k2+25
64
25
64

故λ的取值范圍為[
25
64
,+∞
).                               …(18分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,屬于中檔題.
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(2)若n為偶數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,證明:Bn的“生成數(shù)列”是An;
(3)若n為奇數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,Bn的“生成數(shù)列”是Cn,….依次將數(shù)列An,Bn,Cn,…的第i(i=1,2,…,n)項取出,構(gòu)成數(shù)列Ωi:ai,bi,ci,…證明:數(shù)列Ωi是等差數(shù)列,并說明理由.

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Mm
)
.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的
e6-1
e6-1
倍時,火箭的最大速度可達(dá)12km/s.

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45
2
45
2
米.

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