Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x，則稱(chēng)（x，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問(wèn)題
（1）函數(shù)f（x）=x³-x²+3x-的對(duì)稱(chēng)中心為    ；
（2）計(jì)算+…+f（）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=x³-x²+3x-的對(duì)稱(chēng)中心．
（2）由f（x）=x³-x²+3x-的對(duì)稱(chēng)中心為（，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能夠求出+…+f（）．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-x²+3x-，
∴f′（x）=x²-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=，
∵f（）=+3×=1，
∴f（x）=x³-x²+3x-的對(duì)稱(chēng)中心為（，1），
（2）∵f（x）=x³-x²+3x-的對(duì)稱(chēng)中心為（，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴+…+f（）=2×1006=2012．
故答案為：（，1），2012．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，屬于難題．