【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)見解析.
【解析】
(1)利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡為,然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間,與定義域取交集可得出答案;
(2)利用三角函數(shù)圖象變換得出,解出不等式的解集,可得知對中的任意一個,每個區(qū)間內(nèi)至少有一個整數(shù)使得,從而得出結(jié)論.
(1).
令,解得,
所以,函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為,
,因此,函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,
再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,
由,
對于中的任意一個,區(qū)間長度始終為,大于,
每個區(qū)間至少含有一個整數(shù),
因此,存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知一動圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長為4,設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,,與曲線交于,兩點(diǎn)與曲線交于,兩點(diǎn),線段,的中點(diǎn)分別為,,求證:直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角,,,,,,.
(1)求證:面;
(2)在線段上求一點(diǎn),使銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某學(xué)校的特長班有50名學(xué)生,其中有體育生20名,藝術(shù)生30名,在學(xué)校組織的一次體檢中,該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測試,心率全部介于50次/分到75次/分之間,現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組,第一組[50,55),第二組[55,60),…,第五組[70,75],按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因,體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,若前兩組的學(xué)生中體育生有8名.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及題設(shè)數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合計(jì) | |
體育生 | 20 | ||
藝術(shù)生 | 30 | ||
合計(jì)50 |
(2)根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)計(jì)算可知,________(填“有”或“沒有”)99.5%的把握認(rèn)為“心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)”.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在的奇函數(shù)滿足:①;②對任意均有;③對任意,均有.
(1)求的值;
(2)利用定義法證明在上單調(diào)遞減;
(3)若對任意,恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C的方程變?yōu)?/span>.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線/的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)作l的垂線l0交C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上方,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在黃陵中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)知識競賽中,將高二兩個班參賽的學(xué)生成績(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小組的頻數(shù)是40.
(1)求第二小組的頻率;
(2)求這兩個班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少?
(3)這兩個班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小組內(nèi)?(不必說明理由)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為,離心率為.不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)直線,直線,直線的斜率分別為,且成等比數(shù)列.
(1)求的值;
(2)若點(diǎn)在橢圓上,滿足的直線是否存在?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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