Question

5．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.\end{array}$（其中θ為參數(shù)），點M是曲線C₁上的動點，點P在曲線C₂上，且滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$．
（Ⅰ）求曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線θ=$\frac{2π}{3}$與曲線C₁、C₂分別交于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），M（x′，y′），根據(jù)$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y=2{y^'}\end{array}\right.$，再根據(jù)點M在曲線C₁上，建立x、y間的關(guān)系是．
（2）依據(jù)條件分別求得A、B的極坐標，可得|AB|的值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），M（x′，y′），∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y=2{y^'}\end{array}\right.$，…（3分）
∵點M在曲線C₁上，$\left\{\begin{array}{l}{x′=1+\sqrt{3}cosθ}\\{y′=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，∴（x′-1）²+y′²=3，
曲線C₂的普通方程為 （x-2）²+y²=12；…（5分）
（2）曲線C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0，
將$θ=\frac{2π}{3}$代入得ρ=1，∴A的極坐標為$（{1，\frac{2π}{3}}）$，…（7分）
曲線C₂的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-8=0，
將$θ=\frac{2π}{3}$代入得ρ=2，∴B的極坐標為$（{2，\frac{2π}{3}}）$，
∴|AB|=2-1=1．…（12分）

點評 本題主要考查參數(shù)方程、極坐標、直角坐標間的互化，屬于基礎(chǔ)題．