【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為,,左頂點為,點在橢圓上,且的面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)過原點且與軸不重合的直線交橢圓,兩點,直線分別與軸交于點,,.求證:以為直徑的圓恒過交點,,并求出面積的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點在橢圓上,且△的面積為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得橢圓的方程;(Ⅱ)直線的方程為,設(shè)點(不妨設(shè)),則點,由,消去,所以,,可證明,,同理,則以img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/10/05/10/304d3c4b/SYS201810051001336893528698_DA/SYS201810051001336893528698_DA.024.png" width="29" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />為直徑的圓恒過焦點,,可得,進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)

又點在橢圓上,,

解得,或(舍去),又,

所以橢圓的方程為;

(Ⅱ),,

方法一:當(dāng)直線的斜率不存在時,,為短軸的兩個端點,則, ,,則以為直徑的圓恒過焦點,

當(dāng)的斜率存在且不為零時,設(shè)直線的方程為,

設(shè)點不妨設(shè)),則點

,消去,所以,

所以直線的方程為,

因為直線軸交于點,令

即點,同理可得點,

,

,同理,

則以為直徑的圓恒過焦點,,

當(dāng)的斜率存在且不為零時,

面積為,

又當(dāng)直線的斜率不存在時,,△面積為,

面積的取值范圍是

方法二:當(dāng)不為短軸的兩個端點時,設(shè),

,由點在橢圓上, ,

所以直線的方程為,令

即點,同理可得點

為直徑的圓可化為

代入,化簡得

解得

為直徑的圓恒過焦點,

,又,,

面積為,

當(dāng)為短軸的兩個端點時,,△面積為,

面積的取值范圍是

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中歐班列是推進(jìn)與“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措,作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站,沈陽某火車站正在不斷建設(shè).目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外,利用其一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3米,底面為12平方米,且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻,無需建造費用,因此甲工程隊給出的報價為:屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元,左右兩面新建墻體報價為每平方米150元,屋頂和地面以及其他報價共計7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為

(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時,甲工程隊報價最低?

(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo),其給出的整體報價為,若無論左右兩面墻的長度為多少米,乙工程隊都能競標(biāo)成功,試求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中, , ,點為棱的中點.

(1)證明: 平面

(2)若,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,

(1)求不等式的解集;

(2)若對一切,均有成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同種產(chǎn)品,現(xiàn)隨機從這兩條生產(chǎn)線上各抽取20件產(chǎn)品檢測質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量值落在, 的產(chǎn)品為三等品,質(zhì)量值落在, 的產(chǎn)品為二等品,質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為一等品.下表為從兩條生產(chǎn)線上各抽取的20件產(chǎn)品的質(zhì)量檢測情況,將頻率視為概率,從甲生產(chǎn)線上隨機抽取1件產(chǎn)品,為二等品的概率為0.2.

1的值;

2現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上的三等品中各抽取1件,求這兩件產(chǎn)品的質(zhì)量均在的概率;

(3)估算甲生產(chǎn)線20個數(shù)據(jù)的中位數(shù)(保留3位有效數(shù)字).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,直三棱柱中, , , ,點, 分別是的中點.

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)若二面角的大小為,求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為梯形,,,且

若點上一點且,證明:平面;

二面角的大;

在線段上是否存在一點,使得?若存在,求出的長;若不存在,說明理由

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示),該扇環(huán)面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成.按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米,圓心角為(弧度).

1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

2)已知在花壇的邊緣(實線部分)進(jìn)行裝飾時,直線部分的裝飾費用為4/米,弧線部分的裝飾費用為9/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費用的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出為何值時, 取得最大值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】九章算術(shù)是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典其中對勾股定理的論述比西方早一千多年,其中有這樣一個問題:“今有圓材埋在壁中,不知大小以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺問徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深一寸,鋸道長一尺問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖所示陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分已知弦尺,弓形高寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為( )(注:1丈寸,,)

A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 620立方寸 D. 633立方寸

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案