Question

選修4-1   幾何證明選講
已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BT為⊙O的切線，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．
（Ⅰ）如圖甲，求證：當點P在線段AB上時，PA•PB=PE•PF；
（Ⅱ）如圖乙，當點P在線段AB的延長線上時，（Ⅰ）的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：如圖甲，利用圓周角、弦切角間的關(guān)系證明△APF∽△BPE，根據(jù)成比例線段證明 PA•PB=PE•PF 成立．
（Ⅱ）如圖乙，當點P在線段AB的延長線上時，（Ⅰ）的結(jié)論仍成立．先證明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根據(jù)成比例線段證明 PA•PB=PE•PF 成立．

解答：（Ⅰ）證明：如圖甲，∵EB為⊙O的切線，
∴∠ACB=∠ABE，再由EF∥BC可得∠AFP=∠ACB，故∠AFP=∠ABE．
由于∠AFP=∠EPB，∴△APF∽△BPE．
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．
（Ⅱ）如圖乙，當點P在線段AB的延長線上時，（Ⅰ）的結(jié)論仍成立．
∵EB為⊙O的切線，
∴∠ACB=∠ABT，再由EF∥BC可得∠ACB=∠ABT=∠AFP，又∠ABT=∠PBE，
∴∠AFP=∠PBE．
再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．

點評：本題主要考查圓的相交弦及切線的性質(zhì)，用三角形全等證明線段間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．